Sylabus
Motivace: relativistická invariance, lokalita a kauzalita versus kvantová mechanika; Kleinova-Gordonova rovnice, Diracova rovnice. Rekapitulace formalismu kvantové teorie.
Symetrie v kvantové teorii: Lieovy grupy, projektivní representace na prostoru stavů, infinitesimální generátory, komutační relace, exponenciální parametrizace.
Lorentzova grupa: nehomogenní Lorentzova grupa, vlastní ortochronní Lorentzova grupa, souvislé komponenty, P, T, PT, podgrupa rotací, boosty.
Poincarého algebra: infinitesimální transformace, generátory a komutační relace, transformační vlastnosti generátorů, operátor kvadrátu hmoty a Pauliho-Lublanského vektor.
Representace Lorentzovy grupy: klasifikace konečnoměrných representací, skaláry, levé a pravé Weylovy spinory, Diracovy bispinory, čtyřvektory, nekonečnoměrné representace, skalární, (pravé, levé a bi-) spinorové a vektorové pole.
Diracovy matice: sigma matice, bilineární výrazy pro Weylovy spinory a Diracovy bispinory, gamma matice v chirální representaci, antikomutační relace, matice gamma5.
Diracova rovnice v kovariantním tvaru, chirální limita a Weylova rovnice, relativistická kovariance, identity pro gamma matice, representace algebry gamma matic, Pauliho lemma, Diracova a Majoranova representace.
Prostorová inverze, ireducibilní representace vlastní Lorentzovy grupy.
Volné skalární pole: jednočásticové stavy, transformační vlastnosti vzhledem k Poincarého grupě, spin, parita a časová inverze.
Fockův prostor: interpretace vícečásticových stavů, kreační a anihilační operátory, kanonick é (anti)komutační relace, transformační vlastnosti vzhledem k Poincarého grupě, volný Hamiltonián, operátor tříimpulsu, operátor počtu částic.
Kauzální skalární pole: transformační vlastnosti, (anti)komutátor, požadavek kauzality, vztah spinu a statistiky, Kleinova-Gordonova rovnice, transformace pole vzhledem k prostorové a časové inverzi.
Kanonické kvantování: motivace, kanonické komutační relace ve stejných časech, řešení Kleinovy-Gordonovy rovnice, kreační a anihilační operátory, fockovská representace algebry kreačních a anihilačních operátorů, unitárně neekvivalentní representace.
Klasická teorie pole: funkcionál akce, Lagrangián, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice, transformace akce, teorém Noetherové, bilanční rovnice noetherovského proudu, integrály pohybu, translace a tensor energie-hybnosti, rotace a boosty, čtyřimpuls, moment hybnosti, generátory boostů, vnitřní symetrie.
Hamiltonovský formalismus, funkcionální derivace, zobecněné impulsy, Poissonovy závorky pro pole, Hamiltonovy kanonické rovnice v teorii pole, Diracova kvantovací procedura.
Klasické reálné skalární pole: Lagrangián, Hamiltonián, tensor energie-hybnosti, tříimpuls, moment hybnosti, generátory boostů, kanonické kvantování, Heisenbergovy pohybové rovnice, operátorové uspořádání, hustota energie základního stavu a UV divergence, příklad renormalizace.
Normální uspořádání: maticové elementy normálně uspořádaných operátorů, Wickova věta pro obyčejný součin.
Unitárně neekvivalentní representace: posunuté pole.
Komplexní skalární pole: diagonalizace obecného Lagrangiánu, U(1) symetrie, zachování náboje, antičástice a nábojová konjugace, diskrétní symetrie, piony.
Interagující pole: interakční Hamiltonián, komutační relace generátorů Poincarého grupy, kinematické a dynamické generátory.
Diracův interakční obraz: diracovské operátory, operátor časového vývoje, vztah k Heisenbergově obrazu.
Kanonické kvantování interagující teorie: Hilbertův prostor, schoedingeriovské a diracovské operátory, interakční Hamiltonián v Diracově obrazu.
Teorie rozptylu: diracovské stavy, S-matice, T-matice, unitarita a optický teorém, zachování energie, lorentzovská invariance a kauzalita, stabilita vakua a jednočásticových stavů, souvislé komponenty. Rozpadová šířka a účinný průřez.
Rozptyl v Heisenbergově obrazu: Mølerovy operátory, in a out stavy, S-matice v Heisenbergově obrazu, spektrum interagující teorie, Lippmannova-Schwingerova rovnice, in a out pole, asymptotické podmínky, Greenovy funkce, LSZ redukční formule, jednočásticové póly.
Dysonova formule pro S-matici a Greenovy funkce: T-součin a Wickova věta, skalární propagátor.
Feynmanovy grafy: Feynmanova pravidla, symetrické faktory, Interagující skalární teorie, souvislé a vakuové grafy, Feynmanova pravidla v p-representaci, rozvoj v počtu smyček.
Částice s nenulovým spinem: Unitární representace Poincarého grupy, kanonický boost, Wignerova rotace, spin a helicita, diskrétní symetrie P a T.
Kauzální pole pro částice s nenulovým spinem: transformační vlastnosti a kauzalita, zachovávající se náboj, antičástice, u a v funkce.
Spin ½: Diracovo pole, u a v spinory, antikomutační relace, transformace C, P a T, Diracova rovnice, částice a díry, Majoranovo pole, formule pro vlnové funkce.
Kanonické kvantování Diracova pole: motivace, kanonické antikomutační relace ve stejných časech, řešení Diracovy rovnice, Diracův Lagrangián, positivita skalárního součinu, positivita spektra, Pauliho teorém.
Symetrie Diracovy akce: tensor energie-hybnosti, tříimpuls, impusmoment, generátory boostů, diskrétní symetrie, U(1) symetrie a zachování náboje.
Normální a T uspořádání: Wickova věta, normální a chronologické kontrakce, Feynmanův propagátor, Wickův rozvoj T-součinů proudů, Feynmanovy grafy. LSZ formule pro Diracovo pole.
Anotace
Úvod do relativistické kvantové teorie pole. Částice, pole, interakce, kanonické kvantování, teorie rozptylu a
Feynmanovy grafy.