Deterministický chaos

Sylabus

• Dynamika jednodimenzionálních systémů: Logistická mapa a charakteristické módy jejího chování. Cobweb plot. Bifurkační diagram. Feigenbaumovy konstanty. Stabilní, periodické a nestabilní pevné body.

• Dynamika vícedimenzionálních systémů. Typy chování a pevných bodů. Role Jacobiánu. Henonův systém. Přechod k systémům se spojitým časem.

• Deterministický chaos v systémech se spojitým časem. Fázový portrét. Poincarého mapy. Konzervativní a disipativní systémy. Atrahující množiny, atraktory a repelory. Homoklinní a heteroklinní orbity. Divergence blízkých stavů v chaotických systémech, Lyapunovovy exponenty.

• Soběpodobnost a fraktalita: Principy a příklady. Mandelbrotova množina. Cantorovo discontinuum. Sierpinského trojúhelník/koberec. Přechod od klasické ke fraktální dimenzi: Topologic dimension, box-counting dimension, Hausdorff dimension, fractal dimension, correlation dimension, Lyapunov dimension. Podivný atraktor. Julia množiny.

• Prominentní nízkodimenzionální chaotické systémy a jejich vlastnosti: Lorenzův systém, Rösslerův systém.

• Bifurkace: Lokální vs. globální, subkritické vs. superkritické, individuální typy bifurkací.

• Obecná charakterizace chaotického chování.

• Interakce a synchronizace v nelineárních a chaotických systémech.

• Chaos ve fyzice komplexních systémů: Příklady z astrofyziky, geofyziky či fyziky atmosféry a klimatu. Implikace chaotického chování pro popis, stabilitu a prediktabilitu.

• Využití principů teorie chaosu při nelineární analýze časových řad: Rekonstrukce fázového prostoru pomocí metody časových zpoždění. Fázové portréty dynamických systémů. Rekurenční diagramy. Odhad korelační dimenze z časové řady generované dynamickým systémem. Odhad hodnoty největšího Lyapunovova exponentu z časové řady.

Anotace

Vybrané pojmy z teorie dynamických systémů. Chaos v systémech se spojitým a diskrétním časem.

Bifurkační diagramy, lokální a globální bifurkace. Fraktály a fraktální dimenze, (podivné) atraktory, Lyapunovovy exponenty.

Kontrola chaosu. Projevy chaotického chování ve fyzice komplexních systémů a v teorii klimatu.