Sylabus
* 1. Fourierovy řady
Fourierovy koeficienty a Fourierova trigonometrická řada. Riemann-Lebesgueovo lemma a jeho důsledky. Riemannova věta o lokalizaci. Dirichletovo integrální jádro. Fourierovy řady pro dostatečně hladké funkce. Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost pro L2 funkce. Derivování a integrování Fourierových řad člen po členu. Abstraktní Fourierovy řady: Hilbertův prostor, ortogonální systém, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, separabilní Hilbertův prostor, ekvivalence separability a existence úplné ortonormální báze, abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, souvislost s úplností OG systému. Různé ortogonální systémy, aplikace: prostory s vahami, souvislost ortogonálních systémů s vlastními funkcemi diferenciálních operátorů. Ortogonální systémy polynomů: Legendreovy, Laguerrovy, Hermiteovy, Čebyševovy apod.
* 2. Komplexní analýza
Holomorfní funkce, komplexní derivace, Cauchy-Riemannovy podmínky.Komplexní křivka a křivkový integrál, délka křivky, definice primitivní funkce. Výpočet křivkového integrálu pomocí primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě, jednoduše souvislá oblast. Cauchyova věta a Cauchyův vzorec. Taylorovy a Laurentovy řady. Reziduová věta a její použití k výpočtům. Liouvilleova věta. Věta o jednoznačnosti.
* 3. Fourierova transformace funkcí
Fourierova transformace pro funkce z L1(Rn), Vztah F.T. a derivace. Konvoluce, F.T. konvoluce. Věta o inverzi pro Fourierovu transformaci: Schwartzův prostor S (prostor rychle klesajících funkcí) a jeho vlastnosti, věta o inverzi pro fce z S a L1. Rozšíření F.T. do prostoru L2. Parsevalova rovnost, věta o inverzi pro funkce z L2. Základní použití F.T. pro řešení ODR a PDR.
Anotace
Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematiku pro fyziky I, NMAF061.