Geometrie

Sylabus

A.Úvod a připomenutí známých pojmů. 1.Motivace, Euklidovský prostor, orientace prostoru, shodná zobrazení, vektorový součin. 2.Diferenciální počet v R^n, tečný prostor, diferenciál zobrazení.

B.KŘIVKY. 3.Definice a základní vlastnosti křivek, parametrizace a reparametrizace. Křivost a torze křivky, Frenetův repér. Frenetovy formule, jejich geometrický význam a aplikace. 4.Rovinné křivky, znaménková křivost, rotační index rovinné křivky, isoperimetrická nerovnost.

C.PLOCHY. 5.Definice a základní vlastnosti ploch, tečný prostor, první fundamentální forma plochy, délky, úhly a obsahy na ploše. 6.Druhá fundamentální forma plochy, Weingartenovo zobrazení, normálová křivost, Meusnierova věta. 7.Hlavní křivosti a křivky, Gaussova a střední křivost, Eulerova forule. 8.Vnitřní geometrie plochy. Geodetické křivky na ploše. 9. Gaussova Theorema egregium a Gauss-Bonnetova věta. 10.Přímkové a rozvinutelné plochy, kvadriky, rotační plochy. 11.Základy sférické, hyperbolické a Riemannovské geometrie.

Anotace

Základní přednáška z diferenciální geometrie pro studenty Obecné matematiky.

Křivky a plochy v R3, sférická geometrie, Moebiova grupa, hyperbolická geometrie, první fundamentální forma plochy, Riemannova metrika, zobrazení mezi plochami, geodetiky, druhá fundamentální forma plochy,

Gaussova a střední křivost, Eulerova charakteristika a Gauss-Bonnetova věta.