Sylabus
1. Připomínka některých algebraických pojmů a výsledků (prvoideály, algebraické prvky, Gaussovy obory, ireducibilní prvky v R[x], kde R je Gaussův, noetherovské okruhy).
2. Maximální ideály v K[x_1,\dots,x_n] pro K komutativní těleso (ne nutně algebraicky uzavřené). Jejich popis jako prvoideálů s nenulovým průnikem s každým K[x_i]. Výklad, že pro n = 2 lze popis získat pomocí existence největších společných dělitelů v okruhu K(x)[y].
3. Struktura prvoideálů v K[x_1,x_2]. Planární afinní křivky a jejich ireducibilita. Souřadnicový okruh.
4. Afinní automorfismy K[x_1,...,x_n] a práce s nimi. Chování tečen při jejich aplikaci. Automorfismy K[x_1,x_2] indukují izomorfismy souřadnicových okruhů.
5. Funkční těleso křivky a algebraické funkční těleso. Zadání algebraického funkčního tělesa rovnicí. Použití afinních automorfismů pro nalezení jiných zadání téhož algebraického funkčního tělesa. Charakteristika algebraických prvků v algebraických funkčních tělesech (těleso konstant).
6. Diskrétní valuační obory a jejich ekvivalentní popisy. Existence valuačních oborů v tělesech. Jejich diskrétnost v algebraických funkčních tělesech. Valuace K(x). Pojem místa. Konečnost stupně místa.
7. Hladkost křivky. V hladkém K-racionálním bodě křivky je maximální ideál lokálního okruhu místem funkčního tělesa stupně jedna (konstruktivní důkaz založený na vlastnostech polynomů).
8. Weierstrassova rovnice. Jejich ekvivalence nad K. Krátké formy (ve v šech charakteristikách). Izomorfismus s K(x) v případě singulárních rovnic.
9. Pojem divisoru a s ním asociovaného lineárního prostoru (zvaného též Riemann-Rochův). Hlavní divisor prvku. Stupeň kladné i záporné části hlavního divisoru transcendentního prvku x z algebraického funkčního tělesa F/K je roven [F:K(x)]. Riemannova věta a rod. Třídová (Picardova) grupa.
10. Adèle a jejich prostor. Kodimenze prostoru adèle daného divisoru a index specializace. Slabá a silná aproximační věta. Weilův diferenciál. Riemann-Rochova věta.
11. Eliptické funkční tělesa. Každé z nich indukuje Weierstrassovu rovnici. Weierstrassova rovnice popisuje eliptické funkční těleso právě když je nesingulární. Místa stupně jedna v eliptickém funkčním tělese jsou v jednoznačném vztahu s prvky Picardovy grupy i s K-racionálními body. To umožňuje přenést strukturu grupy na body křivky, a tím popsat sčítání na Weierstrassově křivce jako sečno-tečný proces.
12. Diskriminant a j-invariant Weierstrassovy křivky (rovnice). Smyklé (twisted) křivky.
13. Planární projektivní křivky. Funkční těleso homogenních polynomů ireducibilní projektivní planární křivky. Místa stupně jedna nesingulární projektivní ireducibilní planární křivky jsou v jednoznačném vztahu s K-racionálními body této křivky.
Anotace
Přednáška buduje základní pojmový aparát oboru a rozvíjí teorii křivek, jak obecně, tak speciálně nad konečnými tělesy.
