Sylabus
1) Úvod: Fourierova transformace a Fourierovy řady, F. transformace "gaussiánu" pomocí Cauchyovy věty pro holomorfní funkce 2) Opakování topologie (iniciální a finální topologie, lokální kompaktnost, kompaktifikace, Alexandrovova kompaktifikace, Tychonovova věta o součinu kompaktních prostorů) a opakování teorie míry (definice a příklady, Borelových a Radonových měr), kompaktní-otevřená topologie, lokálně stejnoměrná konvergence na kompaktech, a Banachova-Alaogluova věta 3) Základy Banachových, Banachových-* a C*-algeber (spektrum, rezolventa, věta Gelfanda a Mazura, bez důkazu), příklady: C(X), B(H), D - algebra disku 4) Věta o Gelfandově transformaci, věta Stone--Weierstrasse (opakovani) a Gelfanda--Naimarka. 6) Lokálně kompaktní grupy (definice a příklady), Haarova míra na lokálně kompaktních topologických grupách (existence s důkazem), modulární funkce Haarovy míry 7) Základní pojmy z teorie reprezentací (topologických) grup: Schurovo lemma (o splétajících operátorech), reprezentace komutativních grup; grupa charakterů grupy 8) L^1(G) s konvolucí a L^1-normou je Banachova algebra; grupová algebra konečné grupy. Fourierova transformace na L^1(G), F. t. je homomorfizmus (L^1(G),*) a (L^1(G),.). 9) Charaktery.
Charaktery Z, S^1, R^n. Charaktery jako lokálně kompaktní grupa, Plancherelova míra a věta (bez dk.) 10) Pontrjaginova dualita (nektere body důkazu.) 11) Aplikace: Poissonova sumační formule na lokálně kompaktních abelovských grupách a transformace theta-funkcí
Anotace
Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související analýzu parciálních diferenciálních rovnic pro jiné grupy než translační a abelovskou grupu R^n. První část přednášky.