Sylabus
Prostory se skalárním součinem:
- norma indukovaná skalárním součinem
- Pythagorova věta, Cauchyho-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost
- ortogonální a ortonormální systémy vektorů, Fourierovy koeficienty, Gramova-Schmidtova ortogonalizace
- ortogonální doplněk, ortogonální projekce
- metoda nejmenších čtverců
- ortogonální matice
Determinanty:
- základní vlastnosti determinantu
- Laplaceův rozvoj determinantu, Cramerovo pravidlo
- adjungovaná matice
- geometrická interpretace determinantu
Vlastní čísla a vlastní vektory:
- základní vlastnosti, charakteristický polynom
- Cayleyho-Hamiltonova věta
- podobnost a diagonalizovatelnost matic, spektrální rozklad, Jordanova normální forma
- symetrické matice a spektrální rozklad,
- (volitelně) matice společnice, odhad a výpočet vlastních čísel: Gerschgorinovy disky a mocninná metoda
Positivně semidefinitní a positivně definitní matice:
- charakterizace a vlastnosti
- metody na testování: rekurentní vzoreček, Choleského rozklad, Gaussova eliminace, Sylvestrovo kriterium
- vztah se skalárním součinem
Bilineární a kvadratické formy:
- maticové vyjádření, vliv změny báze na matici
- Sylvestr ův zákon setrvačnosti, diagonalizace, polární báze
Rozšiřující témata (volitelně):
- vlastní čísla nezáporných matic
- maticové rozklady: Householderova transformace, QR, SVD, Mooreova-Penroseova pseudoinverze matice
Anotace
Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, aplikace lineární algebry.