Sylabus
Obecný pojem slabého řešení
Sobolevovy prostory: definice a přehled základních vlastností, věty o vnoření, věty o stopách
Slabá řešení lineární eliptické rovnice na omezené oblasti, různé okrajové podmínky, řešení pomocí Rieszovy věty o reprezentaci a pomocí Lax-Milgramovy lemmy, kompaktnost řešícího operátoru, vlastní vektory a vlastní čísla řešícího operátoru, Fredholmova alternativa a její aplikace, princip maxima pro slabé řešení, $W^{2,2}$ regularita, vyšší regularita, symetrický operátor: ekvivalence úlohy s minimalizací kvadratického funkcionálu
Bochnerovy prostory: definice a přehled základních vlastností, vnoření, itegrace per partes
Slabá řešení pro lineární parabolické rovnice, různé okrajové podmínky, konstrukce řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost a regularita řešení.
Slabá řešení pro lineární hyperbolické rovnice, různé okrajové podmínky, konstrukce řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost řešení, konečná rychlost šíření informace.
Anotace
Jedná se o základní předná šku z teorie parciálních diferenciálních rovnic, ve které se studenti seznámí s pojmem slabého (distributivního) řešení, souvisejícími prostory funkcí a teorií pro lineární rovnice.