Funkcionální analýza pro fyziky

Sylabus

Základní kurs funkcionální analýzy zaměřený na aplikace obecné teorie v kontextu teorie parciálních diferenciálních rovnic.

1. Úvod Opakování důležitých poznatků o konečně dimenzionálních vektorových prostorech a lineárních zobrazeních. Prostory funkcí, metrický prostor, normovaný prostor. Banachovy a Hilbertovy prostory. Otázka kompaktnosti v konečnědimenzionálních a nekonečnědimenzionálních prostorech.

2. Lineární operátory Spojité lineární operátory, příklady. Hahn-Banach věta a její důsledky. Duální prostory, slabá a slabá-* konvergence. Reflexivní prostory. Banach-Alaoglu věta.

3. Omezené lineární operátory Princip stejnoměrné omezenosti, věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Adjungovaný operátor, kompaktní operátor.

4. Hilbertovy prostory Ortogonální projekce, Rieszova věta o reprezentaci. Lax-Milgram lemma a jeho aplikace v teorii parciálních difereniciálních rovnic. Úvod do Sobolevových prostorů. Kompaktní operátory. Fredholmova alternativa. Spektrum. Samoadjungované operátory, Hilbert-Schmidt věta.

Anotace

Základní kurs funkcionální analýzy zaměřený na aplikace obecné teorie v kontextu teorie parciálních diferenciálních rovnic.