Lineární algebra II

Sylabus

- Determinanty. Základní vlastnosti, determinant blokové matice, rozvoj determinantu, věta o násobení determinantů, adjungovaná matice, inverzní matice, Cramerovo pravidlo, vyjádření hodnosti matice pomocí determinantů; metody výpočtu determinantů; příklady.

- Podobnost matic. Charakteristický polynom, vlastní čísla a vlastní vektory, minimální polynom, Cayleyova-Hamiltonova věta, podobnost matic, Jordanova buňka a Jordanova matice, diagonalizovatelnost, existence Jordanova kanonického tvaru a metody jeho nalezení, vlastní čísla reálné symetrické matice; příklady.

- Lineární formy. Matice a analytické vyjádření lineární formy, duální prostor, duální báze; příklady.

- Bilineární formy. Matice a analytické vyjádření bilineární formy, vrcholy forem, symetrické a antisymetrické formy, polární báze, kvadratické formy, formy na reálných prostorech, normální báze a normální tvar, zákon setrvačnosti, signatura, klasifikace forem; příklady.

- Prostory se skalárním součinem. Skalární součin, norma, Cauchyova-Schwarzova a trojúhelníková nerovnost, ortogonální a ortonormální báze, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces, ortogonální transformace, ortogonální matice; příklady.

Anotace

Předmět obsahuje další partie lineární algebry v návaznosti na předmět Lineární algebra I (determinanty, podobnost matic, lineární formy, bilineární a kvadratické formy, prostory se skalárním součinem). Teoretická látka podaná v přednáškách je v praktické podobě upevňována ve cvičeních.