Aritmetika a algebra I

Sylabus

- Úvod: definice, věty, důkazy a jejich struktura. Množiny. Relace, ekvivalence, uspořádání, úplné uspořádání. Zobrazení, binární operace.

- Přirozená čísla: Peanovy axiomy, důkazy indukcí, součty mocnin přirozených čísel.

- Dělitelnost: největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Přirozená čísla jako svaz, prvočísla, Eukleidova věta o nekonečném počtu prvočísel. Fermatova čísla a prvočísla.

- Eukleidův algoritmus a jeho aplikace. Bezoutova věta, Eukleidovo lémma, základní věta aritmetiky, zápis čísel v jiných číselných soustavách.

- Prvočísla: Eratosthenovo síto, Matijasevičova parabola. Mersennova čísla a prvočísla, dokonalá čísla, věta Eukleidova a Eulerova.

- Konstrukce oboru integrity celých čísel, konstrukce pole racionálních čísel, abstraktní podstata těchto konstrukcí.

- Řetězové zlomky: vyjádření racionálních čísel řetězovými zlomky, konvergenty.

- Grupy: definice, základní vlastnosti, cyklické grupy, grupy symetrií, homomorfismy.

- Permutace: skládání, inverze, znaménko, rozklad na nezávislé cykly a transpozice, trojcykly. Symetrická grupa stupně n, alternující grupa stupně n.

- Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi: okruhy, obory integrity, tělesa, pole. Podstruktury, ideály. Homomorfismy. Gaussova celá čísla, neobvyklé příklady oborů integrity.

Anotace

Úvodní přednáška a seminář podávající pevnější základy aritmetiky a algebry, zejména nejdůležitější poznatky o přirozených, celých a racionálních číslech, dělitelnosti, permutacích a základních algebraických strukturách.