Geometrie II

Sylabus

*Kuželosečky

- Rovnice kružnice a mocnost bodu ke kružnici, Apollóniova kružnice.

- Kuželosečky jako množina bodů X v rovině; |XF| : |Xp| = k; rovnice ohnisková a vrcholová; rovnice kuželoseček v polárních souřadnicích. (Sekanina: Geometrie I, str. 168–173 a kap. 3.3).

- Kuželosečky jako průnik roviny a kuželové plochy, Quételetova–Dandelinova věta. Elipsa jako průnik roviny a válcové plochy.

- Elipsa (Pech, str. 7–15 a 17–23): definice a rovnice; bodová, zahradnická, proužková součtová a rozdílová konstrukce, elipsograf, trojúhelníková konstrukce; tečna, ohniskové vlastnosti.

- Hyperbola (Pech, str. 26–38 a 40–41): definice a rovnice; bodová konstrukce; tečna, ohniskové vlastnosti, věta o tečnách a asymptotách.

- Parabola (Pech, str. 44–52 a 40–41): definice a rovnice; bodová konstrukce, tečna, ohniskové vlastnosti.

- Klasifikace kuželoseček, metoda invariantů: matice kvadratické formy, matice kuželosečky; translace a rotace; singulární a regulární kuželosečky, klasifikace. (Janyška, str. 88–99, příklady počínaje stranou 104: 19.1, 19:19, 19:29, 19.30, 19.31)

- Převedení rovnice kuželosečky na kanonický tvar pomocí posunutí a otočení (Sekanina: Geometrie I, kapitola 3.2.; doporučen také Pech, str. 75–89, obsahuje totiž řešené příklady).

*Zobrazení v afinním prostoru

(viz Sekanina: Geometrie II)

- Dělicí poměr a jeho vlastnosti, souvislost s parametrem v parametrickém vyjádření přímky (viz Sekanina, Geometrie I, str. 63–67): D1.7.1 + poznámky, V1.7.1, V1.7.2; D1.7.2, V1.7.5, V1.7.6.

- Afinní zobrazení a jeho určenost, asociovaný homomorfismus: kap. 1.1.

- Analytické vyjádření afinního zobrazení: V1.2.1, odvození rovnic (souřadnice píšeme raději do sloupců).

- Grupa afinit: kap. 1.3.

- Samodružné body a směry afinních zobrazení: kap. 1.4.

- Posunutí, stejnolehlost: kap. 1.5.

- Základní afinity, analytické vyjádření, klasifikace, charakteristika, involutornost; projekce: kap. 1.6.

- Klasifikace afinit v rovině: kap. 1.7.

- Modul afinity, ekviafinity: kap. 1.8.

*Zobrazení v eukleidovském prostoru

(viz Sekanina: Geometrie II)

-Shodná zobrazení: kap. 2.1.

-Analytické vyjádření shodného zobrazení: kap. 2.2.

-Grupa shodností: kap. 2.3.

-Souměrnost podle nadroviny: kap. 2.4.

-Souměrnosti v eukleidovském prostoru, involutorní shodnosti, osová souměrnost v E3: kap. 2.5.

-Klasifikace shodností roviny a E3: kap. 2.6 a 2.7.

-Podobná zobrazení, rozklad podobnosti na stejnolehlost a shodnost, analytické vyjádření, grupa podobností; samodružné body a vlastní čísla podobností, klasifikace podobností v rovině: kap. 2.8.

-Přehled geometrických zobrazení: kap. 2.9., tabulky na str. 68, 72

*Kruhová inverze

(vše pouze ve 2D, sférická inverze se tedy nepožaduje)

- Kruhová inverze v rovině, základní vlastnosti, analytické vyjádření: z kap. 2.10: D2.10.1, D2.10.2, V2.10.1, V2.10.2, V2.10.3 (tato jedna věta bez důkazu).

- Grupa sférických transformací: kap. 2.11 — bez důkazů.

- Transformace roviny v komplexní souřadnici: pouze základní myšlenky, V2.12.1 (bez důk.), D2.12.1.

Anotace

Navazuje na předmět Geometrie I. Studují se kuželosečky (zejména metoda invariantů) a geometrická zobrazení v afinním a eukleidovském prostoru, jejich základní vlastnosti, analytická vyjádření, samodružné body a směry.

Teorie je budována s využitím lineární algebry.