Algebra

Sylabus

* Polynomy a jejich kořeny:

Polynom a polynomiální funkce, porovnání a aplikace ve školské matematice.

Tzv. základní věta algebry a její důsledky. Z_p nejsou algebraicky uzavřená - protipříklady.

Eliminace násobnosti kořenů, derivace polynomu.

Hranice rozložení kořenů polynomů. Hornerovo schéma. Lagrangeova interpolace.

* Prolegomena ke Galoisově teorii:

Řešení kvadratické a kubické rovnice různými postupy, porovnání postupů použitelných ve školské matematice. Vietovy věty.

Lagrangeova postupná symetrizace (aplikace Vietových vět, symetrických polynomů, cyklických grup, faktorizace grup permutací).

Algebraické rozšíření pole (kořenové a rozkladové pole), stupeň rozšíření, jednoduché příklady. jednoduché příklady Galoisových korespondencí.

Řešitelnost algebraické rovnice v radikálech - znění základní věty. Důkaz, že A_5 je jednoduchá.

* Konstruovatelnost pravítkem a kružítkem:

Eukleidovsky konstruovatelné body a čísla. Zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu.

Konstruovatelnost pravidelných n-úhelníků.

* Symetrické polynomy:

Jednoduché a elementární symetrické polynomy, hlavní věta o symetrických polynomech.

Diskriminant, motivace, obecná definice, výpočet pomocí determinantu, souvislosti se školskou matematikou.

* Grupy a pole - základní přehled:

Základní vlastnosti grup: grupy jednoduché, cyklické, abelovské - jednoduché příklady a souvislosti, znění věty Cauchyovy a první Sylowovy.

Prvopole, struktura konečných polí.

Zavedení komplexních čísel ve školské matematice, souvislost s Kroneckerovou větou.

Anotace

Kurzovní přednáška z algebry pro navazující magisterské učitelské studium (polynomy a jejich kořeny, Lagrangeova postupná symetrizace; přechod v algebře od hledání kořenů polynomů ke zkoumání struktur). Propojení algebraických témat se školskou matematikou (diskriminant, Vietovy věty, zavedení komplexních čísel, různé způsoby řešení kvadratické rovnice).