Sylabus
Tenzorový počet
Vektory a kovektory. Tenzory, tenzorový součin a zúžení, transformace souřadnic, diagramatické značení.
Skalární součin a metrika, Levi-Civitův tenzor.
Křivočaré souřadnice a vektorová analýza
Tenzorová pole, gradient a nabla-operátor. Křivočaré souřadnice, ortonormální triády, vektorové operátory v křivočarých souřadnicích. Integrování vektorů a tenzorů.
Úvod do teorie distribucí
Zavedení distribucí a jejich vlastnosti. Příklady: δ-distribuce, derivace nespojité funkce, regularizace 1/x. Fourierova transformace distribucí, příklady. Distribuce na varietě, charakteristické funkce, plošná a lineární δ-distribuce a jejich derivace. Aplikace: bodové, lineární a plošné zdroje, dipóly, hraniční podmínky v elektrostatice a magnetostatice, elektrické pole v okolí vodičů.
Greenovy funkce
Greenovy funkce v jedné proměnné. Greenova funkce Laplaceova operátoru, Laplaceova rovnice na oblasti s hranicí, řešení rovnice vedení tepla.
Klasická teorie pole
Princip extremální akce, lagrangeovský a hamiltonovský formalismus pro pole, skalární a elektromagnetického pole, kalibrační symetrie.
Dodatky ke klasické elektrodynamice
Multipólový rozvoj v tenzorové podobě. Popis kontinua v STR, tenzor energie-hybnosti a tok náboje pro nabitý prach, zákony zachování.
Od sčítání přes dráhy k řešení diferenciálních rovnic
Feynmanova formulace kvantové mechaniky: kvantové historie, kvantová nerozlišitelnost, pravidla pro amplitudy, model měření. Dráhový integrál, amplituda vývoje volné částice, perturbační řešení Schrödingerovy rovnice.
Anotace
Vektory a tenzory. Křivočaré souřadnice a vektorová analýza. Úvod do teorie distribucí, Fourierova transformace,
Greenovy funkce. Klasická teorie pole, lagrangeovský a hamiltonovský formalismus. Multipólový rozvoj v tenzorové podobě. Feynmanova formulace kvantové mechaniky, dráhový integrál.
Proseminář je určen pro studenty 2. ročníku. Jedná se o doplňkovou přednášku zaměřenou na využití matematických metod ve fyzice. Důraz je kladen na aparát využívaný na přednáškách z Klasické elektrodynamiky a v Úvodu do kvantové mechaniky.