Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Sylabus

* Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice.

Přehled vlastností Hilbertových prostorů a operátorů na nich. Spektrální teorém a typy spekter samosdružených operátorů, teorie samosdružených rozšíření. Základní postuláty kvantové mechaniky. Příklady jednoduchých kvantových systémů. Smíšené stavy, superselekční pravidla. Kompatibilita pozorovatelných. Algebraická formulace kvantové teorie.

* Globální a lokální relace neurčitosti.

Heisenbergovy relace. Hilbertův prostor analytických funkcí. Koherentní stavy. Lokální relace neurčitosti.

* Kanonické komutační relace.

Nelsonův příklad. Weylovy relace: Stoneova - von Neumannova věta o existenci a jednoznačnosti reprezentace. Systémy s nekonečným počtem stupňů volnosti.

* Časový vývoj.

Základní dynamický postulát. Pojetí časového vývoje. Disperze vlnových balíků. Vývoj koherentních stavů. Feynmanovy "integrály". Časový vývoj nestabilních systémů. Friedrichsův model.

* Schrödingerovy operátory.

Kritéria samosdruženosti. Diskrétní spektrum, jeho mohutnost a struktura. Esenciální spektrum, jeho stabilita. Systémy s hranicí, kvantové vlnovody.

* Bodové a kontaktní interakce.

Jednorozměrný případ: definice bodové interakce, spektrální a rozptylové vlastnosti. Kronigův-Penneyho model. Bodové interakce v dimenzi dva a tři. Aproximace škálovanými potenciály. Kvantová mechanika na grafech.

Anotace

Pokročilejší partie kvantové teorie: operátory na Hilbertových prostorech; postuláty kvantové mechaniky, stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice; globální a lokální relace neurčitosti; kanonické komutační relace; časový vývoj, Schrödingerovy operátory; bodové a kontaktní interakce. Pro 4. a 5. roč.

TF a JSF a doktorandy.