Symetrie rovnic matematické fyziky a zákony zachování

Sylabus

Během přednášky se dozvíte,

-jak hledat bodové (zobecněné) symetrie dané diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic),

-jak využít těchto symetrií (které často tvoří Lieovu grupu) k zjednodušení dané obyčejné, či parciální diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic), případně k jejich úplnému vyřešení,

-jak nalézt zákony zachování a integrály pohybu pomocí bodových (zobecněných) symetrií Eulerových-Lagrangeových diferenciálních rovnic, které jsou zároveň symetriemi příslušného variačního funkcionálu,

-jak určit obecný tvar obecně nelineárních diferenciálních rovnic určitého řádu invariantních vůči zadané Lieově grupě symetrií.

Při výkladu těchto obecných témat se mimo jiné seznámíme s následujícími základními pojmy teorie Lieových grup transformací a jejich aplikace na diferenciální rovnice:

-jednoparametrická a r-parametrická Lieova grupa bodových transformací,

-infinitezimální transformace a infinitezimální generátor bodových transformací,

-Lieovy teorémy, Lieova algebra Lieovy grupy transformací a řešitelná Lieova algebra,

-rozšíření (prodloužení) bodových transformací a jejich infinitezimálních generátorů na prostor rozšířený o derivace závislých proměnných,

-grupa symetrie diferenciální rovnice a infinitezimální kritérium invariance diferenciální rovnice vůči Lieově grupě transformací,

-kanonické souřadnice a jejich využití k redukci, případně k nalezení řešení diferenciálních rovnic,

-diferenciální invarianty a jejich využití k redukci obyčejných diferenciálních rovnic,

-zobecněné symetrie diferenciálních rovnic,

-invariantní řešení diferenciálních rovnic, eliminace nezávislé proměnné

-variační symetrie, infinitezimální kritérium variační symetrie,

-obecné zákony zachování a jejich charakteristika, teorém Noetherové pro bodové a zobecněné symetrie

Anotace

Symetrie rovnic matematické fyziky a využití těchto symetrií při řešení rovnic. Hledání obecných diferenciálních rovnic se zadanou symetrií.

Obecné zákony zachování pro systém diferenciálních rovnic a jejich souvislost se symetriemi těchto rovnic. Vhodné pro 1. až 2. ročník nejen teoretické fyziky.