Polynomická algebra

Sylabus

* Požadavky:

- vypracování seminární práce

- 2 až 3 testy

- minimálně 80% účast na cvičeních či adekvátní náhrada řešenými úlohami v případě odůvodněné neúčasti

- aktivita ve cvičeních během celého semestru

Předpokládané znalosti:

Grupa, těleso; čísla celá, racionální, reálná a komplexní; dělitelnost v oboru přirozených a celých čísel.

Přehled pojmů:

- okruh, obor integrity, těleso, konečné obory integrity

- polynom v analýze a algebře, stupeň polynomu, vedoucí koeficient, absolutní člen, normální tvar polynomů a jejich rovnost;

- dělitelnost polynomů, polynomy stupně jedna (nad tělesem a nad oborem integrity), nulový polynom, jednotky ve smyslu dělitelnosti, polynomy spolu asociované, zápis polynomu v normálním tvaru a rozklad polynomu na činitele, polynom reducibilní a ireducibilní;

- dosazení do polynomu, kořeny polynomu, rozklady polynomu na kořenové činitele, rovnice algebraická (o jedné neznámé), řešitelnost algebraických rovnic;

- Eukleidovské obory integrity, největší společný dělitel dvou polynomů, Eukleidův algoritmus;

- derivace polynomu, kořeny jednoduché a násobné, kořenové a rozkladové nadtěleso daného polynomu a jeho existence, těleso algebraicky uzavřené

- aproximace "funkce" polynomem, Lagrangeův interpolační polynom

* Soubor nejdůležitějších dovedností:

- Zapsat daný polynom v normálním tvaru ( roznásobení součinu)

- Ověřit rovnost dvou polynomů (seřazení členů)

- Dosadit číslo do polynomu (přímo i pomocí Hornerova schématu)

- Určit racionální kořeny polynomu s celočíselnými koeficienty

- Vytýkat kořenové činitele a dělit polynomu polynomem

- Najít největšího společného dělitele dvou polynomů

- Odstranit vícenásobné kořeny (reálných) polynomů

- Odhadnout počet reálných kořenů (reálných) polynomů

- Separovat reálné kořeny (reálných) polynomů

- Aproximovat reálné kořeny reálného polynom (numerické metody)

- Aproximovat lomenou čáru polynomem

- Řešit binomické rovnice

- Řešit bikvadratické rovnice

- Řešit jednodušší reciproké rovnice

Anotace

Základní kurz zaměřený na práci s polynomy. Získané znalosti a dovednosti patří k základům nutným pro další kurzy z matematiky.