Syllabus
Požadavky k zápočtu: aktivní účast (80%) na cvičeních, písemná kontrolní práce
Forma zkoušky: písemná a ústní
Cíl: studium základů euklidovské geometrie především z hlediska vlastností invariantů geometrických transformací
* Obsah kurzu:
Čtyřúhelníky. Čtyřúhelníky tětivové a tečnové.
Kružnice. Mocnost bodu ke kružnici. Chordála.
Euklidovské konstrukce. Euklidovská řešitelnost konstrukční úlohy. Jiné volby konstrukčních prostředků.
Množiny bodů dané vlastnosti.
Definice a základní vlastnosti shodných zobrazení v rovině. Involuce, inverzní zobrazení.
Skládání shodných zobrazení.
Rozklad shodných zobrazení na osové souměrnosti (konstrukční postupy).
Klasifikace shodných zobrazení v rovině. Shodnosti přímé a nepřímé. Grupa shodných zobrazení.
Shodná zobrazení v prostoru.
Definice a základní vlastnosti stejnolehlosti. Dělicí poměr a jeho vlastnosti.
Skládání stejnolehlostí. Mongeova věta.
Kružnice ve stejnolehlosti.
Grupa stejnolehlostí.
Definice a základní vlastnosti podobnosti.
Rozklad přímé a nepřímé podobnosti (konstrukční postupy).
Samodružné body podobnosti (konstrukční postupy).
Klasifikace podobností v rovině. Grupa podobností.
Menelaova a Cevova věta.
Pappova věta. Dvojpoměr a jeho vlastnosti.
Kruhová inverze (pojem a základní vlastnosti, Apolloniovy úlohy).
Princip axiomatické výstavby geometrie. Kleinova definice geometrie a základní etapy fylogeneze geometrie.
Geometrické zajímavosti -fraktály, rozšíření eukl. roviny apod.
* Požadavky k zápočtu a zkoušce:
Aspoň 80% účast na cvičeních.
Aspoň 2 správně vyřešené úlohy v písemné zkoušce (3 příklady - 1 hodina) s tím, že pokud půjde o analogické úlohy k úlohám obsaženým v rozmnožených souborech úloh řešených na cvičeních, musí být úspěšnost 100%.
Seminární práce v letním semestru (rys nebo konstrukce v Cabri geometrii).
Zápočet je předpokladem ke zkoušce.
Pro úspěšnost zkoušky jsou vypsány nutné (nikoli postačující) podmínky určené výčtem vybraných vět, konstrukcí a důkazů, bez jejichž osvojení není naděje na úspěch u zkoušky.
* Nutné (nikoli postačující) podmínky ke zkoušce z EG1,2
Definice: dělicí poměr, dvojpoměr, shodné zobrazení, podobné zobrazení, stejnolehlost, kruhová inverze, inverzní zobrazení, involutorní zobrazení, grupa geometrických zobrazení, grupy shodností, Mongeova grupa, grupa podobností, samodružný bod (útvar, směr), euklidovské a neeuklidovské konstrukce, čtyř úhelníky tečnový a tětivový, Kleinovská definice geometrie (základní idea)
Věty: Mongeova o skládání stejnolehlostí, Menelaova, Cevova, Pappova,, věty o skládání shodností, stejnolehlostí a podobností, věty o rozkladu podobnosti, vlastnosti dělicího poměru, věta o euklidovské konstruovatelnosti, věty o čtyřúhelnících tečnových a tětivových, věta o počtu samodružných bodů podobnosti, věty o dělicím poměru
Konstrukce: Apolloniovy úlohy, samodružné body podobnosti, střed složené stejnolehlosti, kružnice ortogonální ke dvěma kružnicím, chordála, bod dané mocnosti ke kružnici, bod v daném dělicím poměru, obraz bodu, přímky a kružnice v kruhové inverzi, čtvrtý harmonický bod, rozklad otočení, rozklad posunutí, rozklad posunuté souměrnosti, rozklad podobnosti na stejnolehlost a shodnost
Klasifikace: shodností v rovině a prostoru (zdůvodnění počtu samodružných bodů v klasifikaci), podobností v rovině
Důkazy: k hodnocení #výborně" je předpokladem znalost všech důkazů nebo jejich myšlenkové konstrukce tak, jak byly předloženy na přednáškách
Annotation
Tetragons, inscribed and circumscribed.
Circumference, circumference and a point.
Euclidean constructions, Euclidean solvability of construction problem. Other choices of tools for constructions.
Sets of points with a given property.
Definition and basic properties of congruent mappings in plane.
Involution, inverse mapping.
Composition of congruences.