Sylabus
1. Posloupnost. Definice, vztah k funkci. Vlastnosti (prostota, omezenost, ohraničenost, monotonie).2. Vlastnosti platné pro skoro všechna n. Ekvivalentní charakteristika, invarianty.3. Rozšířená reálná osa. Okolí v R^*. Základní topologické pojmy.4. Limita posloupnosti. Terminologie (konvergence, vlastní a nevlastní body). Definice pomocí vzdálenosti, definice pomocí uspořádání, definice pomocí okolí, ekvivalentní výběry okolí. Věta o posloupnosti horních a dolních ohraničení skoro všech členů posloupnosti.5. Základní vlastnosti limity (existence a jednoznačnost, invarianty, omezenost a konvergence, limita a uzávěr množiny, limita a hromadný bod množiny).6. Aritmetika limit posloupností. Limita konstantní a identické posloupnosti, limita aritmetických operací, limita absolutní hodnoty.7. Limita geometrické posloupnosti. Limity mocnin.8. Asymptotické chování posloupností. Podílové a odmocninové kritérium.9. Monotonie limit posloupností (oběma směry). Věta o dvou policajtech.10. Limita monotónní posloupnosti. Přerovnatelnost posloupnosti na monotónní.11. Vybraná posloupnost a její limita, použití. Disjunktní rozklad posloupnosti.12. Hromadný bod posloupnosti. Ekvivalentní definice. Hromadný bod posloupnosti vs. hromadný bod množiny. Existence hromadného bodu. Vztah k limitě.13. Limita funkce podle Heineho. Ekvivalentní výběr posloupností. Jednostranné limity a vztah k oboustranné.14. Jednoznačnost limity funkce. Limita konstantní a identické funkce, limita aritmetických operací, limita absolutní hodnoty.15. Limita monotónní funkce.16. Definice limity funkce pomocí okolí. Náležení funkce do libovolného okolí limity, speciální případy.17. Monotonie limit funkcí. Věta o dvou policajtech.18. Spojitost. Definice pomocí okolí a pomocí limity. Jednostranná spojitost, spojitost na intervalu.19. Limita a spojitost složené funkce.20. Darbouxova vlastnost. Vztah ke spojitosti. Spojitý obraz intervalu. Spojitost inverzní funkce.21. Spojitost elementárních funkcí.22. Bolzano-Cauchyho podmínka pro posloupnosti a funkce. Ekvivalence s konvergencí. Definice spojitosti analogií k B.–C. podmínce.
Anotace
Přednáška je zaměřena na základy matematické analýzy, hlavně teorii (definice, věty a důkazy) limit a spojitosti a na koncepty, které jsou k jejich zavedení potřebné, jako jsou základní topologické pojmy. Cvičení jsou věnována převážně limitnímu počtu.
