Syllabus
Struktura geometrie: eukleidovská, ekviformní, afinní, projektivní. Analytické a syntetické zavedení. Transformace v těchto geometriích a jejich invarianty. Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru, modely projektivního rozšíření, použití skalárního a vektorového součinu, nevlastní prvky.
Zavedení soustavy souřadnic v eukleidovském, afinním a projektivním prostoru. Homogenní, trilineární a barycentrické souřadnice;
Kruhová inverze a její invarianty, möbiovský prostor, stereografická projekce;
Využití geometrických transformací a jejich invariantů k řešení planimetrických úloh;
Polohové a metrické vlastnosti útvarů v rovině, tří a vícerozměrném afinním a eukleidovském prostoru; Množiny bodů v rovině a třírozměrném prostoru; Využití induktivní dimenzinální analogie;
Kuželosečky, analytické a syntetické definice, projektivní, afinní, eukleidovské vlastnosti, určení a klasifikace kuželoseček. Quetelet-Dandelinova věta;
Popis křivek a ploch (implicitně, explicitně, parametricky).
Annotation
The subject aims to revise, strengthen, and complete the knowledge of prospective teachers in the topic of school mathematics, its overlaps with university mathematics, and its applications in natural sciences. The graduate of the course should be well oriented and be able to give examples understandable for elementary and high school pupils and use suitable problems demonstrating applications of university mathematics in the elementary and high school curriculum. Students will be introduced to examples of actual, historically significant, or open problems.
Topics:
Triangles, quadrangles, polygons, their properties and theorems, loci of points of given properties, circles, its properties and theorems, Apollonius' problems.
Conic sections, analytic and synthetic definitions, projective, affine, euclidean properties, classification of conics.
Incidence and metric properties of objects in the plane, three, and more-dimensional affine and Euclidean space.
Geometric solids, flat solids, solids of revolution, calculating volumes and areas, sections of pyramids and prisms, Euler theorem for polyhedra, Platonic solids, convexity.
Geometric transformations (synthetically and analytically): projective, affine, similar, isometric, their classifications, invariants, and fixed elements, composing transformations.
Vector space, operations on vectors.
Coordinate systems in Euclidean, affine, and projective space, homogeneous coordinates, analytic representation of shapes, the projective extension of Euclidean space, models of projective extension, dot and vector product, improper elements, the principle of duality.