Syllabus
Annotation
Kurz představuje základní pojmy z teorie topologických, metrických a normovaných prostorů. Zabývá se pojmy jako okolí, konvergence, metrika, norma, úplnost, kompaktnost, seznamuje se základy duality a ortogonality. Umožňuje hlubší a obecnější pohled na některé partie matematické analýzy. Důraz je kladen na porozumění látce na základě příkladů prostorů posloupností a funkcí.
• základní topologické pojmy, metrika a její vlastnosti
• otevřené a uzavřené množiny, vnitřek, hranice a uzávěr množin, hromadné a izolované body
• opakování pojmů z lineárních prostorů, norma a její vlastnosti
• konvergence, úplnost, Banachovy prostory
• kompaktnost, separabilita, souvislost
• Banachův princip pevného bodu, souvislost s teorií diferenciálních rovnic
• spojitá lineární zobrazení, lineární formy, základy duality
• otevřené zobrazení, princip stejnoměrné omezenosti
• příklady prostorů posloupností a funkcí, nerovnosti Holderova, Minkovského
• skalární součin a jeho vlastnosti, ortogonalita, Hilbertovy prostory, Schwarzova nerovnost
• ortogonální systémy, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost
• aplikace Fourierových řad