Posloupnosti pro učitele ZŠ a SŠ

Sylabus

Anotace

Předmět je věnován posloupnostem a jejich vlastnostem a úvodu do matematické analýzy skrze limity posloupností.

Posloupnost a její vlastnosti (prostota, omezenost, ohraničenost, monotonie).

Vlastnosti platné pro skoro všechna n. Rozšířená reálná osa. Základní topologické pojmy.

Limita posloupnosti. Různé definice a jejich ekvivalentní formy.

Základní vlastnosti limity (existence a jednoznačnost, invarianty, omezenost a konvergence, limita a uzávěr množiny, limita a hromadný bod množiny).

Aritmetika limit posloupností.

Limita geometrické posloupnosti. Limity mocnin.

Asymptotické chování posloupností. Podílové a odmocninové kritérium.

Monotonie limit posloupností (oběma směry). Věta o dvou policajtech.

Limita monotónní posloupnosti. Přerovnatelnost posloupnosti na monotónní.

Vybraná posloupnost a její limita, použití. Disjunktní rozklad posloupnosti.

Hromadný bod posloupnosti. Ekvivalentní definice, existence. Vztah k limitě.

Bolzano-Cauchyho podmínka. Konstrukce reálných čísel pomocí cauchyovských posloupností.