Abstrakt
Kniha shrnuje dopad dvou hlavních Gödelových výsledků, tj. věty o úplnosti (kalkulu predikátové logiky prvního řádu) a věty o neúplnosti (všech dostatečně silných teorií), na další vývoj matematiky (a logiky). Rozvoj zkoumání v základech matematiky na přelomu 19. a 20. století vedl k nutnosti exaktněji formulovat matematická tvrzení i důkazy.
Odtud také pramení nebývalé úsilí matematiků té doby najít úplný axiomatický systém matematiky. Pak ale důkaz Gödelovy věty, jeden z nejdůležitějších výsledků logiky 20. století, přiměl matematiky i logiky přehodnotit svůj postoj k úplnosti a neúplnosti.
Jestliže před rokem 1931 bylo možné chápat neúplnost jako nedostatečnost axiomů a neúplnou teorii jako nedokončený polotovar, poté bylo nutné akceptovat, že existují teorie neúplné v principu a že tyto (v principu) neúplné teorie nejsou žádnými (uměle zkonstruovanými) anomáliemi, ale že se jedná o teorie každodenní matematické praxe. Výklad proměny matematické praxe po Godelových větách je doplněn přepracovaným kritickým překladem obou hlavních Gödelových článků 1.
Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkuls (1930), and 2. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I (1931).
Překlad je založen na edici: Kurt Gödel (1986). Collected works, Vol.
I, Publications 1929-1936, editor in chief Solomon Feferman, edited by John W. Dawson, Jr., Stephen C.
Kleene, Gregory H. Moore, Robert M.
Solovay and Jean van Heijenoort. Překlad obou článků tak umožňuje českému čtenáři získat vlastní a přímou zkušenost s dodnes problematickým objevem úplnosti a neúplnosti deduktivní metody.